Популярно о конечной математике и ее интересных применениях в квантовой теории

Феликс Лев, 2023

В этих мемуарах описано много событий, начиная от моих юношеских до довольно солидных лет, но основная цель мемуаров такая. Я хотел на возможно более популярном уровне описать свое понимание фундаментальной квантовой физики и математики и то, что я пытался сделать. В связи с этим, сделаю такое замечание.Philip Gibbs создал сайт и назвал его vixra. Такое название получается, если читать слово "arxiv" в обратном порядке. Philip считал, что moderation system, которую применяет arxiv, не соответствует принципам научной этики. События которые я описываю ниже, показывают, что не только arXiv, но и многие известные журналы тоже не следуют принципам научной этики. В аннотации, полный текст которой есть в статье, я кратко описываю что является самым главным в моем подходе и с какими проблемами я столкнулся в попытках опубликовать свои научные результаты.

Глава 11. Основные идеи на которых основаны мои работы

11.1. Алгебра первична, а пространство вторично

В главе 7 я писал о том как Леонид Авксентьевич Кондратюк и Скифф Николаевич Соколов помогли мне в жизни. А теперь опишу почему их влияние определило мою дальнейшую жизнь в науке. Я писал как начал работать с Леонидом Авксентьевичем. Он был известным теоретиком в ИТЭФе, но в то же время не считалось, что он занимается большой наукой. В ИТЭФе большой наукой была только QFT и считалось, что И.С. Шапиро и его лаборатория занимаются какими-то прикладными задачами, которые не являются фундаментальными. Л.А. предложил мне заниматься тем, что потом стало моей кандидатской с названием"Процессы упругого рассеяния на дейтроне с большими переданными импульсами". Мне кажется, что там получились интересные результаты, но их описывать не буду. А после кандидатской возник вопрос чем заниматься дальше и он предложил мне заниматься теорией прямых взаимодействий. Вкратце, основная идея такая.

В нерелятивистской физике взаимодействия частиц описываются при помощи потенциала. Хорошо известные примеры потенциалов — кулоновский потенциал для электрического взаимодействия и гравитационный потенциал для гравитационного. Но с точки зрения QFT считается, что потенциальное описание не может быть правильным в релятивистском случае. Один из аргументов такой. Если взаимодействие между частицами описывается потенциалом, зависящим только от расстояния, то, если одну частицу даже слегка сдвинуть, то вторая должна почувствовать это сразу. Но это противоречит принципу, что никакое взаимодействие не может передаваться со скоростью быстрее скорости света.

С точки зрения QFT, любая теория с взаимодействием автоматически становится теорией с бесконечным числом частиц т.к. при взаимодействиях может происходить обмен с любым числом виртуальных частиц, а при высоких энергиях уже может рождаться любое количество реальных частиц. Но в так наз. few-body community занимались подходом, когда система с фиксированным числом взаимодействующих частиц рассматривается релятивистски. Оправдание такое, что в некоторых ситуациях при не очень высоких энергиях чисто кинематические релятивистские эффекты важнее чем рождение (реальное или виртуальное) других частиц.

В этом подходе возникает такая проблема. Допустим, у нас есть три частицы, H₀ — их свободный гамильтониан, V₁₂ — оператор энергии взаимодействия частиц (1,2) и аналогично, V₁₃ и V₂₃ — операторы энергии взаимодействия частиц (1,3) и (2,3) соответственно. Тогда нельзя, по аналогии с нерелятивистской теорией, считать, что полный гамильтониан равен H=H₀+ V₁₂+V₁₃+V₂₃, потому, что это нарушит релятивистские коммутационные соотношения. И Леонид Авксентьевич рассказал, что в ИФВЭ есть такой Соколов, который придумал метод пакующих операторов, который эту проблему решает. Я занялся этой проблемой и познакомился со Скиффом Николаевичем.

И для моей работы, важным оказалось то что, как описано в параграфе 9.6, на фундаментальном квантовом уровне симметрия задается не пространством, а алгеброй коммутационных соотношений и на этом уровне никаких пространств и его преобразований нет. Из дальнейшего будет ясно, почему эта идея фундаментальная.

11.2. Симметрия де Ситтера

Еще одна история, которая оказала на меня влияние была такая. У моего тогдашнего завлаба Н.В. Кузнецова была распечатанная статья Дайсона (Dyson) “Missed Opportunities”, название которой было переведено на русский как"Упущенные Возможности". Эта статья была обернута бумагой, на которой была фотография симпатичной девушки в бикини, и Н.В. Кузнецов шутил, что фотография хорошо иллюстрирует название статьи. Насколько я понял, основная идея статьи такая. Dyson занимался и физическими и математическими задачами. Он пишет, что когда он занимался математическими задачами, то у него мозги работали как у математика и он проходил мимо важных физических идей и аналогично когда он занимался физическими задачами, то проходил мимо важных математических идей.

Например, релятивистская теория более общая чем нерелятивистская не только из физических соображений, а просто потому, что группа Галилея — частный случай группы Пуанкаре: группа Галилея получается из группы Пуанкаре контракцией. А группа де Ситтера более общая чем группа Пуанкаре т. к. группа Пуанкаре получается из группы де Ситтера контракцией. А т.к. группа де Ситтера полупростая, то ее уже нельзя обобщить дальше. Казалось бы, из этого должно сразу следовать, что теории претендующие на то, чтобы считаться фундаментальными (например QFT) должны строится на де Ситтер симметрии, а не на Пуанкаре симметрии. Какие-то попытки в этом направлении были. Например, помню, что был на лекции В.Г. Кадышевского в Политехническом Музее, где он говорил, что для де Ситтера расходимости устраняются лучше. Сейчас многие занимаются де Ситтер теорией, но как? Об этом ниже. Но статья Дайсона появилась в 1972 г., т. е. прошло уже более 50 лет, а учебники по QFT по-прежнему исходят из релятивистской инвариантности (т.е., Пуанкаре симметрии) и все самые громкие проекты основаны на этой инвариантности.

Из моих обсуждений с физиками, работающими в частицах, у меня сложилось такое впечатление о вероятной причине. Многие из них знают, что де Ситтер симметрия формально более общая чем Пуанкаре симметрия, и что вторая получается из первой в формальном пределе R→∞, где R — это как бы радиус Вселенной. И т. к. этот радиус намного больше размеров элементарных частиц, то они думают, что де Ситтер симметрия может иметь смысл в космологии, а применять ее к частицам совершенно незачем. Однако, более общая теория может пролить совсем другой свет на стандартные понятия и, как описано ниже, в случае с де Ситтер симметрией это действительно так даже в частицах.

Много лет спустя я написал Дайсону, что его статья произвела на меня впечатление, и, в духе этой статьи, конечная математика более фундаментальна чем классическая. Еще, в частности, написал:"Most physicists and mathematicians believe that standard continuum math is fundamental while finite math is something inferior. They do not care much that standard math has foundational problems and even such beautiful minds as Cantor, Gödel, Hilbert, Zermelo and many others could not solve them.

I give simple arguments that the situation is the opposite: standard math is only a special case of finite one in the formal limit when the characteristic of the ring or field in finite math goes to infinity. So the foundational problems of standard math are not fundamental. Maybe this is not politically correct to say but I believe that by introducing infinities people created a headache for themselves and now heroic efforts are needed to get rid of this headache”.

Надеялся, что он меня поддержит. Но его ответ был такой:"No useful comments. Whether you prefer Galois fields or a continuum is a matter of taste. To my taste, Galois fields are beautiful but the continuum is even more beautiful. Yours, Freeman Dyson."Что ж, и на этом спасибо. Во всяком случае он не сказал, что я написал бессмыслицу, покушаюсь на святое и т.д. Но я был разочарован тем, что даже такой образованный физик и математик не признает, как мне кажется, очевидное. Что тогда можно ожидать от других? Я вернусь к этому вопросу ниже.

Сейчас пытаюсь вспомнить когда читал эту статью Дайсона. Кажется, это было приблизительно в 1977 г. Эта оценка основана на том, что статью читал в квартире Н.В. Кузнецова в Хабаровске, где он просил пожить на время его отъезда. Я стал жить в Хабаровске после защиты кандидатской в конце 1976 г., а в начале 1978 г. институт дал мне какое-то жилье, так что мне незачем было у кого-то жить. И тогда может возникнуть такой вопрос. Я критикую физиков за то, что они сразу после статьи не перешли с Пуанкаре на де Ситтера, а почему я сам сразу не перешел? Попробую как-то оправдаться.

Раньше думал, что после защиты кандидатской даже не буду пытаться сделать докторскую. а буду заниматься чем хочу. Когда кандидат наук получал должность старшего научного сотрудника (с.н.с), его зарплата в Хабаровске была 360 рублей в месяц т.к. базовая зарплата была 300 и дальневосточный коэффициент был 1.2. На такие деньги вполне можно было хорошо жить и ни о чем не думать. Но Н. В. Кузнецов не хотел давать мне с.н.с и, кроме того, жизнь стала ухудшаться. Поэтому стал думать о том, что докторскую делать придется. И т. к. жил далеко от Москвы, то возможности контактов с учеными были ограничены, и я решил, что единственной реальной возможностью для меня сделать докторскую была теория релятивистских прямых взаимодействий, о которой писал выше. На это уходило почти все время и поэтому серьезно заниматься чем-то другим не получалось.

Но дополнительный толчок к де Ситтеру дал разговор с моим родственником и тогдашним начальником Эдиком Мирмовичем. Как-то он рассказал мне о своей идее, что фундаментальными физическими величинами являются угловые моменты. Я пытался понять, что он имел в виду. Помню я ему сказал, что в группе Пуанкаре 10 генераторов, из них 6 описывают обычные и Лоренцевские вращения, но остальные 4 — энергия и импульс — уже не вращения. Спросил, имел ли он в виду де Ситтера. Здесь все 10 генераторов — угловые моменты. Из них 6 — такие же как в Пуанкаре, а остальные 4 при контракции де Ситтера в Пуанкаре переходят в энергию и импульс. Так что на квантовом уровне эта идея — как раз то, что написано в статье Дайсона.

После этого разговора, у меня появилась надежда, что удастся заниматься де Ситтером не только в свободное от работы время, но и в рабочее время. Увы, это оказалось только надеждой и не буду описывать почему. Но удалось опубликовать несколько статей в журнале Journal of Physics A: Mathematical and General, который тогда был очень приличным, а теперь стал кондовым (см. ниже). Пожалуй, наиболее важный результат такой. В духе знаменитой работы Вигнера, элементарные частицы описываются неприводимыми представлениями группы симметрии. Т.е., в Пуанкаре инвариантной теории это представления группы Пуанкаре, а в де Ситтер инвариантной теории — представления группы де Ситтера. Еще более точно, в духе идеи Л.А. Кондратюка, надо рассматривать не представления групп, а представления соответствующих алгебр Ли.

В представлениях алгебры Пуанкаре спектр оператора энергии либо строго положителен либо строго отрицателен. Первые представления ассоциируют с частицами, а вторые — с античастицами. Но в so(1,4) алгебре де Ситтера одно неприводимое представление содержит состояния как с положительными так и с отрицательными энергиями. В предельном переходе R→∞ одно неприводимое представление алгебры so(1,4) разбивается на два неприводимых представления алгебры Пуанкаре для частицы и ее античастицы. Поэтому, с точки зрения симметрии де Ситтера, сами понятия частицы и античастицы только приближенные. И законы сохранения электрического заряда, барионного и лептонных квантовых чисел могут быть только приближенными. Сейчас они хорошо работают потому что на данном этапе эволюции Вселенной величина R очень большая. Но если Вселенная произошла из чего-то малого, то на ее ранних стадиях R не было большим и все эти законы сохранения не имели места. Возможно, что объяснение так наз. проблемы барионной асимметрии Вселенной как раз такое. В любом случае, этот пример показывает, что, всегда когда можно, надо иметь дело с более общей теорией, даже если кажется, что менее общая теория является достаточным приближением.

11.3. О размерностях

Прежде чем описывать мой подход основанный на конечной математике, сделаю такое замечание. В физике, основанной на конечной математике, все физические величины могут быть только дискретными. В такой ситуации непонятно, имеют ли смысл размерности физических величин и связь между различными единицами измерения. Размерности существуют уже 300 лет или больше и о них по-прежнему много говорят. Но квантовая теория и релятивизм явно намекают (хотя даже в учебниках это не пишут), что на размерности может быть другой взгляд. Например, квантовая теория говорит, что угловой момент может быть только целым или полуцелым в единицах ћ. Исторически сложилось так, что угловой момент измеряют в единицах m·kg/sec. Но это необязательно. На фундаментальном уровне угловой момент — просто целое или полуцелое число. Т.е., можно вообще забыть про ћ. Многие пишут, что работают в системе единиц, где ћ=1. Это затуманивает т.к. создает впечатление, что мы пересчитываем из одних единиц в другие. А на самом деле это означает, что про ћ можно забыть. Т.е., переход от квантовой теории к классической — это не ћ→0, а просто когда угловые моменты очень большие. Этот пример поучителен еще тем, что показывает, что когда дискретная величина большая, то она кажется непрерывной.

Другой пример — релятивизм говорит, что c — фундаментальная константа и что никакая скорость v не может быть больше c (если не учитывать тахионы). Но это означает, что в непрерывной релятивистской теории скорости можно считать безразмерными. Грубо говоря, их можно измерять в единицах v/c. Но на самом деле это означает, что в такой теории скорости должны измеряться величинами меньшими единицы, а про c можно забыть вообще. Тогда переход к нерелятивизму — это не когда c→∞, а частный случай ситуации когда все v<<1.

Наконец, в де Ситтер инвариантной теории есть только угловые моменты и там все операторы имеют одинаковые размерности — все они безразмерны и массы безразмерны. Де Ситтеровская масса μ и стандартная масса m связаны соотношением (неявно предполагая, что c=ћ=1) μ =mR, где R — параметр контракции от алгебры де Ситтера в алгебру Пуанкаре. Этот параметр можно назвать радиус де Ситтера (радиус мира), но в общем случае этот параметр не имеет никакого отношения к радиусу пространства де Ситтера; как показано в моих работах, это имеет место только в квазиклассическом приближении. Говорят, что де Ситтер переходит в Пуанкаре в формальном пределе R→∞. Но на самом это означает, что про параметр длины R можно забыть и формальный переход от де Ситтера к Пуанкаре получается когда де Ситтеровские аналоги обычной энергии и обычного импульса очень большие.

Итак в самом общем подходе, когда мы имеем квантовую теорию с симметрией де Ситтера, никаких размерностей нет вообще, а все физические величины измеряются просто числами.

Обычно считается, что в классической теории нет никаких параметров, в релятивизме появляется c, в квантовой теории ћ, а в гравитации G, и это три фундаментальные константы. Окунь написал статью про куб физических теорий, где есть куб, вершины которого имеют координаты, определяемые величинами (0,c,ћ,G) и теория тем более общая чем от больших ненулевых констант она зависит. А самая общая теория — в самой последней вершине куба с координатами (c,ћ,G). А на самом деле ситуация обратная. В общей теории нет никаких параметров, а в классике есть три параметра — (kg, m, sec). Эти параметры придумали люди много лет тому назад и назвали это системой единиц. Никакого фундаментального смысла в этих параметрах нет, просто так сложилось исторически.

Вывод — понятие единиц измерения — надуманное, оно возникло только в силу исторических причин. Например, можно спросить, почему c=300000km/sec, а не 100000km/sec. Ответ — потому, что мы так выбрали km и sec. Аналогично, не имеет смысл вопрос о том почему (ћ,R) такие как они есть. Поэтому в рассуждениях о важности той или другой единицы измерения не вижу большого смысла.

Как одно из следствий указанных результатов, отмечу следующее. Как показано в моих работах, в квазиклассическом приближении, результаты квантовой теории с симметрией де Ситтера для космологического расширения формально такие же как и результаты OTO, если Λ=3/R^2. Как объяснено выше, вопрос о том почему R такое, а не другое, не стоит т.к. ответ такой: R такое потому что мы хотим измерять расстояния в метрах. Поэтому, в моем подходе, результат для космологического расширения получается без всяких модельных предположений и вопрос о том почему Λ такое, а не другое не стоит. Мой подход к космологическому расширению более общий чем подход ОТО т.к. ОТО — чисто классическая теория, а любая классическая теория должна быть следствием квантовой в квазиклассическом приближении. Кроме того, если в ОТО, R — модельно зависимый параметр, то моем подходе нет свободы в выборе R. Поэтому, в моем подходе, космологическое расширение объясняется без всяких модельных предположений и модельных параметров, и, для этого объяснения, dark energy, quintessence и прочая экзотика не нужны.

Конец ознакомительного фрагмента.