Как понять алгебру. Алгебраические уравнения с ответами и решениями

Джеймс Уэллс

Вы ищете простой способ объяснить алгебру вашему ребенку? Вам поможет книга «Как понять алгебру: алгебраические уравнения с ответами и решениями». Эта книга включает в себя:Эксперименты с числами как новый подход к пониманию логики алгебры.90 уравнений с ответами и решениями.Автор учебника программист и психофизиолог с многолетним стажем преподавателя.Эта книга не только помогает понять алгебру, но и укрепляет уверенность учеников в себе и повышает их самооценку.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Посмотрите на уравнение X + Y = 3. X и Y неизвестны. Вы не можете найти ни X, ни Y из этого уравнения. Вам нужна дополнительная информация об «отношениях» между ними. Такая информация может быть включена в дополнительное уравнение. Например: X — Y = — 1. Теперь у вас есть система из 2-х уравнений:

1. X + Y = 3

X — Y = — 1

Есть несколько способов ее решения. Первый способ: найти X в любом уравнении, например, первом.

Для этого вычтите Y из каждой части уравнения:

Х + У — У = 3 — У; Найти Х

Х = 3 — У

Затем подставьте (3 — Y) вместо X во втором уравнении (X — Y = — 1).

Вы получите: 3 — Y — Y = — 1 или 3 — 2Y = — 1

Теперь решите это уравнение относительно Y. Прибавьте 2Y к обеим частям уравнения.

3 — 2Y +2Y = — 1 +2Y

3 = — 1 +2Y

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

3 +1 = — 1 +1 +2Y

4 = 2Y

Поменяем местами 4 и 2Y.

2Y = 4

Разделите обе части уравнения на 2.

2Y/2 = 4/2

Y = 2.

Теперь подставьте 2 вместо Y в любом исходном уравнении, чтобы найти X.

Одно из исходных уравнений: X + Y = 3.

Х +2 = 3;

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

Х+2 — 2=3 — 2;

Х = 1

Y = 2

Второй способ решения:

1. Х + У = 3

Х — У = — 1

Вы можете просуммировать левые части обоих уравнений и просуммировать правые части обоих уравнений.

X + Y = 3 и X — Y = — 1 Тогда

(Х + Y) + (Х — Y) = 3 + (-1)

Или вы можете написать это так:

Если 2 Х = 2 то Х = 1

Поставьте 1 вместо X в любое уравнение.

1 + У = 3

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

1 + Y — 1 = 3 — 1

Y = 3 — 1

Y=2

Мы можем решать системные уравнения, используя их графики. Если мы построим каждое уравнение, мы получим две прямые линии. Точка пересечения линий будет иметь значения X и Y, соответствующие обоим уравнениям.

Чтобы нарисовать график для уравнения, мы должны привести его к общему виду:

Y = аХ + b

Начнем с первого уравнения: X + Y =3

Вычтите X из обеих частей уравнения

Х — Х + У = 3 — Х

Y = 3 — Х

Найдите две точки, чтобы нарисовать линию для первого уравнения. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.

Х = 3; Y (3) = 3 — 3 = 0

Х = 6; У (6) = 3 — 6 = — 3

Чтобы провести прямую линию достаточно двух точек.

Найдем две точки для второго уравнения.

Приведите уравнение к общему виду.

Х — У = — 1

Вычтите X из обеих частей уравнения.

Х — Х — У = — 1 — Х — У = — 1 — Х

Умножьте обе части на — 1

— Y (-1) = (-1) (-1) — X (-1)

У = Х +1

Найдите две точки, чтобы нарисовать линию для второго уравнения. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.

Х = 5; Y (5) = 5 +1 = 6

Х = — 5; Y (-5) = — 5 +1 = — 4

Теперь мы можем рисовать графики для обеих линий.

На графике 1 вы видите, что точка пересечения линий имеет X = 1

и Y =2.

Это те же самые значения, которые мы нашли ранее.

График 1. Точка пересечения линий: X=1, Y=2.

Следующая система уравнений:

2. 2Х + У = 5

Х + У = 2

В этом случае у нас есть + перед X и Y в обоих уравнениях.

Чтобы исключить один неизвестный член уравнения, вы можете вычесть второе уравнение из первого.

(2X + Y) — (X + Y) = 5 — 2=3 или:

Подставьте 3 вместо X в любое исходное уравнение.

3 + У = 2

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

3 + Y — 3 = 2 — 3

Y = 2 — 3 = — 1

Y = — 1

Ответы: Х = 3; Y = — 1;

Решим эти уравнения с помощью графика.

Первое уравнение: 2X + Y = 5.

Приведите уравнение к общему виду: Y = aX + b

Вычтите 2X из обеих частей уравнения.

2X — 2X + Y = 5 — 2X

Y = 5 — 2X

Найдите две точки, чтобы начертить первую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.

Х = 0; Y (0) =5—2*0; Y (0) = 5

Х = 4; Y (4) = 5 — 2 * 4 = 5 — 8 = — 3

Найдем две точки для второго уравнения.

Х + У = 2

Приведите уравнение к общему виду Y = aX + b.

Х — Х + У = 2 — Х;

Y = 2 — Х

Найдите две точки, чтобы начертить вторую линию. Присвойте любое значение X и вычислите значение Y.

Х = 4; У (4) = 2 — 4 = — 2

Х = — 4; Y (-4) = 2 — (-4) = 2 +4 = 6

На графике 2 мы видим, что точкой пересечения является (3, — 1). Тот же ответ, который мы нашли раньше: X = 3, Y = — 1.

График 2. Точка пересечения линий: X=3, Y=-1.

Следующая система уравнений:

Конец ознакомительного фрагмента.