Цифровое моделирование на C#

Дмитрий Павлов

Эта книга представляет собой доступное введение в практические вопросы цифрового моделирования. В книге присутствует множество иллюстраций, подача материала чередуется с увлекательными историческими и научно-популярными вставками. Все это делает книгу весьма оригинальной, интересной и легкой для восприятия. Книга ориентирована на старшеклассников, студентов, профессиональных разработчиков, а также для всех тех, для кого программирование является увлекательным хобби.

Урок 2. 3D моделирование

Цифровые модели в пространстве

Введение

Создание компьютерных игр и CAD-систем невозможно без глубокого понимания того, как устроены трехмерные цифровые модели, как они создаются, трансформируются и освещаются. Все это (создание, трансформирование и освещение трехмерных объектов) мы подробно разберем в этом уроке. Также мы научимся строить поверхности, накладывать текстуры на объекты, рисовать тени и моделировать туман.

3D-моделирование

Цифровое 3D-моделирование — это процесс создания трехмерного представления объекта путем манипулирования ребрами и вершинами в моделируемом трехмерном пространстве. Вы наверняка видели результаты трехмерного моделирования в фильмах, анимациях и видеоиграх, которые наполнены фантастическими существами и структурами.

3D-моделирование используется в самых разных областях, включая инженерию, архитектуру, развлечения, кино, спецэффекты, разработку игр и коммерческую рекламу.

Сама тема 3D-моделирования необычайно интересна и очень востребована в современном мире. В IT-индустрии существует даже профессия 3D-дизайнера (например, 2D-дизайнеров не существует). Справедливости ради нужно отметить, что к разработчику 3D-систем предъявляются повышенные требования в области математики. Наш второй урок направлен как раз на то, чтобы читатель научился понимать основные этапы, связанные с работой в 3D-моделировании. Хочется сразу успокоить читателя: в математическом аппарате, необходимом для работы с 3D-моделями, нет ничего сложного, хотя знаний здесь понадобится больше, чем при построении графиков.

Преобразование точек в трехмерном пространстве

Поскольку трехмерные модели так или иначе задаются набором точек, чтобы изменять положение и размер объекта в пространстве, достаточно уметь изменять положение точки. Мы рассмотрим следующую группу преобразований: поворот, масштабирование и параллельный перенос. Именно к этим трем действиям и сводится трансформация трехмерной модели. Существует унифицированный подход к этим преобразованиям, а именно все эти операции можно свести к умножению матрицы на вектор. Для преобразования точек в трехмерном пространстве используются матрицы порядка 4x4.

рис. 2.1

Вращение

Далее для каждого преобразования укажем матрицу, которая ему соответствует. Сначала рассмотрим матрицы, которые соответствуют вращению.

Поворот вокруг оси Х:

Поворот вокруг оси Y:

Поворот вокруг оси Z:

α — угол поворота, заданный в радианах. Поворот осуществляется против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.

Мы рассмотрели матрицы поворота точки вокруг координатных осей. Также на практике может потребоваться повернуть точку вокруг произвольной оси. Пусть ось вращения задана единичным вектором v (x, y, z). Тогда матрица поворота вокруг этого вектора имеет вид:

Масштабирование

Матрица масштабирования (изменения размеров объекта с сохранением подобия) имеет вид:

Где с — это коэффициент масштабирования. Если коэффициент с> 1, то точка удаляется от начала координат, если 0 <с <1, то приближается. Если же с <0, то происходит зеркальное отражение точки относительно начала координат. С помощью масштабирования можно управлять размером модели, увеличивая или уменьшая его.

Параллельный перенос

Матрица, соответствующая параллельному переносу точки на вектор с координатами (a, b, c), имеет вид:

Для вращения и масштабирования можно было бы использовать матрицы порядка 3x3, но параллельный перенос уже не может быть описан как матричное преобразование в пространстве этой размерности — для этого требуются матрицы размерности на единицу больше. Использование матриц 4x4, прежде всего, дает нам возможность унифицировать подход к преобразованиям в пространстве — все трансформации модели всегда сводятся к умножению матрицы на вектор. Сами по себе матричные преобразования просты и во многих прикладных библиотеках хорошо оптимизированы. Чтобы иметь возможность умножать матрицу 4x4 на трехмерный вектор, к вектору добавляют формальную четвертую координату w, равную 1: (x, y, z) — > (x, y, z, 1).

Поскольку наши рассуждения привязаны к конкретному языку программирования, то отметим, что в среде NET уже реализован необходимый функционал для работы с объектами в трехмерном пространстве. В частности, пространство имен System.Numerics содержит матрицы и векторы различных размерностей, а также разнообразные методы для работы с ними. Листинг ниже демонстрирует поворот точки с координатами (1, 0, 2) на угол в 90 градусов. В результате мы получаем точку с координатами (1, — 2, 0).

Перспективные преобразования

Перспективные преобразования обеспечивают отображение пространственных моделей на какой-либо поверхности в соответствии с теми, кажущимися сокращениями их размеров, изменениями очертаний и форм, которые наблюдаются в природе. Использование перспективных преобразований делает отображение моделей на экране более реалистичным. Близкие объекты кажутся большими, а далекие маленькими, дорога сужается к горизонту и т. п (рис. 2.2).

рис. 2.2

Смысл перспективных преобразований представлен на рисунках ниже. Пусть нам необходимо отобразить на экране треугольник ABC. Если проекция не используется (рис. 2.3), то берутся обычные ортогональные проекции точек этого треугольника на плоскость проектирования (как правило, это плоскость Z=0),

рис. 2.3

При использовании проекции (рис. 2.4), образ точки на плоскость проектирования получается как точка пересечения луча, выходящего из центра проекции, проходящего через исходную точку и плоскости проекции.

рис. 2.4

Если мы отображаем точку (x, y, z) без использования проективных преобразований, то, по сути, мы просто игнорируем третью координату. При использовании перспективы координата z будет влиять на координаты x и y.

Существует несколько типов проекций. Рассмотрим одноточечную проекцию как пример наиболее простого перспективного преобразования. Нашей задачей будет вычислить новые координаты точки для отображения с учетом перспективы. Для примера рассмотрим плоскость XOZ и вычислим координату X с учетом перспективного преобразования.

рис. 2.5

Воспользовавшись подобием треугольников (Z_c, Pr_x, 0) и (Z_c, P, P_z) и выразив значение для Pr_x, получаем:

Аналогичные рассуждения можно провести и в плоскости YOZ. Таким образом, если центр проекции находится в точке (0, 0, — Zc), то новые координаты точки с учетом перспективного преобразования можно вычислить по формуле ниже.

x’, y’ — координаты точки с учетом перспективы; x, y, z — исходные координаты точки.

При одноточечной проекции учитывается только Z-координата. При удалении точки по оси Z от центра проекции его координаты по X и Y будут стремиться к нулю.

Перспективные преобразования, в отличии от, например, вращения и масштабирования, являются мнимыми, они не влияют на форму и положение предметов, а являются лишь кажущимися. Это означает, например, что если к 3D-модели перед отображением были применены перспективные преобразования, то после отображения они должны быть отменены.

Посмотрите, как выглядит цифровая модель куба в приложении Advanced3DModels (см. дополнительные материалы) с применением одноточечной проекции:

рис. 2.6

Полигональные модели

Полигональное моделирование — это разновидность трехмерного моделирования. Модель при этом задается набором точек. Если три точки заданы в качестве вершин и соединены ребрами, то они формируют треугольник (полигон), который имеет цвет или текстуру. Совокупность таких треугольников позволяет смоделировать практически любой объект. Недостаток полигонального моделирования состоит в том, что сами треугольники должны иметь очень маленький размер, иначе объект будет иметь огранённый вид. Это означает, что если для модели на сцене предполагается увеличение, ее необходимо моделировать с большим количеством полигонов, даже несмотря на то, что большинство из них будут лишними при удалении от объекта. Тем не менее, для простого моделирования такой подход считается вполне приемлемым.

Реалистичное освещение полигональных моделей

В этой части нашего повествования мы разберем способы, позволяющие моделировать освещение трехмерного объекта. Сначала давайте разберем особенности восприятия мира посредством органов зрения. Человек, по сути, видит мир плоским. Сетчатка глаза плоская, а, следовательно, и само изображение, спроецированное на сетчатку, тоже является плоским. Тем не менее, мы воспринимаем мир вокруг себя как объемный, имеющий глубину. Это достигается за счет того, что мозг подвергает плоскую картинку «цифровой» обработке, благодаря которой человек способен видеть объем и форму. На процесс формирования объемного изображения также большое значение оказывает тот факт, что человек имеет два глаза. Из разности изображений, мозг извлекает дополнительную информацию об объеме. Но самую большую информацию о форме объекта человек получает из игры света и тени, а также за счет бликов на его поверхности. Таким образом, реалистичное освещение модели является очень важной частью трехмерного моделирования.

Для полигональных моделей освещение сводится к освещению совокупности треугольников из которых состоит модель. Достаточно уметь освещать один треугольник в зависимости от его положения в пространстве и положения источников света, чтобы суметь осветить всю модель.

Распространение света в реальном мире — это чрезвычайно сложное явление, зависящее от слишком многих факторов, и располагая ограниченными вычислительными ресурсами, мы не можем себе позволить учитывать в расчетах все нюансы. Поэтому методы освещения, которые мы будем описывать, основаны на использовании приближенных к реальности, упрощенных математических моделей, которые дают хороший визуальный эффект, но при этом рассчитываются гораздо проще.

Прежде, чем начать изучение методов освещения, кратко коснемся самих источников света. Все источники света разделим на два типа: прожекторы и точечные источники. Прожектором называется источник света, лучи которого параллельны друг другу. Точечный источник — это источник света, который испускает световые лучи во все стороны.

рис. 2.7

Лучи-прожекторы параллельны друг другу (рис. 2.7)

рис. 2.8

Точечный источник излучает свет во все стороны (рис. 2.8)

С точки зрения освещения для нас будет важно, что все лучи от прожектора падают на поверхность под одним и тем же углом. У точечного источника каждый луч падает на поверхность под своим углом.

рис. 2.9

Модель Фонга

Одной из наиболее часто используемых моделей освещения является модель освещения Фонга. Она состоит из трех составляющих: фоновой (ambient, англ.), диффузной (diffuse, англ.) и зеркальной (specular, англ.). Цвет в конкретной выбранной точке треугольника зависит от этих трех составляющих освещения. Далее разберем каждую составляющую в отдельности.

Фоновая составляющая

Пусть X — исходный цвет треугольника, а A — константа, лежащая между 0 и 1, которая характеризует фоновое освещение. Тогда фоновая составляющая F равна:

F = A ⋅ X

Тот факт, что константа A лежит между 0 и 1, означает, что исходное значение цвета X будет уменьшено. Вообще, значение параметра А для всех объектов, не излучающих свет самостоятельно, как то всевозможные лампочки или флуоресцентные материалы, равно 0. Значение фоновой составляющей не зависит от наличия источников света и характеризует самостоятельное свечение объекта.

Диффузная составляющая

Диффузное освещение имитирует воздействие на объект направленного источника света. Это наиболее визуально значимый компонент модели освещения. Чем меньше угол между нормалью (нормалью называется ненулевой вектор перпендикулярный плоскости треугольника) к треугольнику и вектором, направленным на источник света, тем большую яркость ему придает диффузная составляющая.

рис. 2.10

Расчет диффузной составляющей происходит согласно формуле ниже:

D = d ⋅ X ⋅ (1 + cos (α)) / 2

D — диффузная составляющая.

d — значимость источника света. Этот параметр можно интерпретировать как яркость этого источника относительно других. Сумма значений d для всех источников должна быть равна 1.

X — исходный цвет поверхности треугольника.

α — угол между вектором нормали к поверхности и вектором, исходящим из вершины треугольника и направленным на источник света.

Легко заметить, то значение диффузной составляющей максимально, когда вектор нормали сонаправлен с вектором, направленным на источник света, и минимально, когда данные вектора антиколлинеарны. Как следует из формулы, диффузная составляющая всегда больше или равна нулю. Если поверхность освещается прожектором, то диффузная составляющая будет одна и та же для каждой точки треугольника. В случае точечного источника диффузная составляющая будет различна для каждой точки.

Зеркальная составляющая

Зеркальная составляющая имитирует яркое пятно света (блик), которое появляется на блестящих объектах. Расчет зеркальных бликов, как и в случае диффузного освещения, основан на векторе направления источника света и нормали к поверхности объекта, но помимо этого в вычислениях учитывается позиция наблюдателя, то есть направление, в котором наблюдатель смотрит на фрагмент.

рис. 2.11

(1) — вектор, исходящий из вершины треугольника и направленный на источник света.

(2) — вектор нормали к плоскости треугольника.

(3) — отраженный от поверхности луч света.

(4) — вектор, исходящий из вершины треугольника и направленный на наблюдателя.

α — угол между вектором нормали и вектором, направленным на источник света.

β — угол между отраженным от поверхности треугольника лучом света и вектором, направленным на наблюдателя.

Зеркальную составляющую освещения можно вычислить по следующей формуле:

S — зеркальная составляющая.

a — параметр, характеризующий яркость светового блика.

b — параметр, характеризующий размер светового блика на поверхности. Чем больше b, тем меньше блик.

x = 1-cos (β)

β — угол между отраженным лучом света и вектором, направленным на наблюдателя. Этот угол должен варьироваться в пределах от 0 до 90 градусов. Если угол больше, чем 90 градусов, это означает, что поверхность не освещается лучами от источника света или наблюдатель не может видеть данную поверхность. В этом случае зеркальная составляющая равна 0.

Если мы построим график функции, с помощью которой вычисляется зеркальная составляющая, то мы получим примерно такой график (рис. 2.12) (в зависимости от параметров a и b вид графика может немного меняться).

рис. 2.12

Эта функция достигает своего максимума при x=0, то есть когда отраженный луч и вектор, направленный на наблюдателя, сонаправлены. Значение самих параметров a и b полностью зависит от свойств материала поверхности. Например, для металла значение a будет больше, чем для дерева.

Как и диффузная, зеркальная составляющая всегда больше или равна нулю. Но в отличии от диффузной, которая зависит только от угла между нормалью к поверхности и падающим лучом света, значение зеркальной составляющей не является некоторым абсолютным значением, а зависит от позиции наблюдателя.

Формула Фонга

Общее значение освещенности является суммой трех составляющих освещения:

Освещенность = Фоновая + ∑ Диффузная + ∑ Зеркальная

Суммирование идет по всем источникам света, присутствующим на сцене.

Способы освещения

Мы выяснили, как вычислять цвет в произвольной точке треугольника. Но нам необходимо закрасить весь треугольник. Чтобы это сделать, существует несколько вариантов. Первый вариант самый простой (и, соответственно, самый быстрый) — нужно вычислить цвет в произвольной точке (например, в вершине) и закрасить этим цветом весь треугольник. Второй чуть сложнее — это вычислить цвет в трех вершинах треугольника, усреднить эти значения и закрасить этим усредненным значением весь треугольник. И, наконец, третий способ — вычислить цвет в трех вершинах, а для закраски внутренних точек треугольника использовать линейную интерполяцию между вершинами треугольника (метод Гуро). Этот метод позволяет устранить дискретность изменения интенсивности, также он является наиболее ресурсоемким из трех перечисленных, но именно он дает самую качественную картину из описанных выше методов.

Если расчет освещенности идет для прожектора, то можно сократить количество вычислений, использовав тот факт, что диффузная составляющая одинакова для всех точек в пределах одного треугольника.

Существует еще один подход к освещению как полигональных, так и других типов моделей. Если мы умеем вычислять значение цвета для произвольной точки объекта, то можно рассчитать освещенность для каждой точки модели. Это, так называемый, метод попиксельного освещения. Понятно, что он является наиболее ресурсоемким из всех. Этот метод может применяться в областях, где скорость расчета освещенности не так важна по сравнению с качеством — например, в мультипликации, где картинки подготавливаются заранее и не так важно, как долго отрисовывался конкретный кадр.

В качестве практической вставки посмотрим, как закрасить треугольник в соответствии с методом Гуро. В графической библиотеке GDI+ присутствует необходимый функционал, чтобы линейно интерполировать цвета между тремя вершинами. (см. листинг ниже)

Моделирование тумана

Вид модели зависит не только от того, какие источники света ее освещают, но и от наличия атмосферных эффектов, в частности, тумана. Благодаря удачной настройке таких эффектов можно изменить эмоциональное восприятие сцены, сделать ее более реалистичной или добавить некий мистический налет.

В этой части урока мы научимся моделировать присутствие тумана на сцене. Мы смоделируем туман, который равномерно скрывает объекты в направлении глубины сцены. Действие такого тумана легко объяснить следующими словами: чем ближе к нам объект, тем более четко мы его видим и тем меньшее значение оказывает туман на цвета объекта, и наоборот, чем дальше объект, тем менее четко мы его видим и тем большее значение оказывает туман (его цвет) на то, каким мы видим объект. Можно сказать, что корректирующее действие тумана является функцией расстояния от наблюдателя до объекта.

Рассмотрим формулу, с помощью которой можно вычислять цвет 3D-модели в условиях тумана:

X_F — цвет 3D-модели с учетом тумана.

F — цвет тумана (в природе, как правило, это белый цвет, но можно использовать и другие цвета).

R — расстояние от наблюдателя до объекта.

X — исходный цвет объекта, вычисленный например, по методу Фонга.

d — параметр тумана (плотность).

Как работает эта формула? Если R=0, то есть объект находится перед наблюдателем, тогда X_F равно исходному цвету объекта. Если же устремить R в бесконечность, X_F устремится к цвету тумана. Не стоит рассматривать эту формулу как некоторую каноническую и единственно правильную. Она является искусственно сконструированной и хорошо показала себя на практике (см. дополнительные материалы). В данной формуле выражение R² может быть заменено на любую другую монотонно-возрастающую функцию, зависящую от R. При этом туман будет как-то по-другому «растворять» объект.

Отображение 3D-модели

Поскольку мы определили трехмерную модель как совокупность полигонов (треугольников), то отображение модели сводится к отображению этой совокупности. Как отобразить эту совокупность чтобы модель выглядела корректно? Существует несколько подходов к решению этой задачи. Мы изложим один из наиболее простых методов. Итак, чтобы наша 3D-модель выглядела правдоподобно, нам нужно проделать следующее: необходимо отсортировать наши треугольники по оси Z в порядке удаленности от наблюдателя. В качестве Z-координаты можно взять минимум по Z для всех трех вершин. То есть отображаться треугольники должны по мере приближения к наблюдателю — от самых дальних к ближним. Этот подход называется алгоритмом художника. Он очень прост, нагляден и легко реализуем. Но он также имеет ряд недостатков. Например, алгоритм не позволяет получить корректную картину в случае взаимно перекрывающихся треугольников. В этом случае следует разбивать конфликтный треугольник на несколько меньших. Второй проблемой является то, что система прорисовывает области, которые впоследствии будут перекрыты, на что тратятся лишние вычислительные ресурсы.

Особый случай представляет из себя ситуация, когда на сцене присутствует только одна 3D-модель и она является выпуклым многогранником (например, кубом), в этом случае сортировка не требуется. Достаточно просто отобразить видимые треугольники. Однако мы пока не выясняли, как определить, видим треугольник наблюдателю или нет. Давайте сформулируем простой критерий видимости треугольника для наблюдателя: треугольник виден наблюдателю в том и только в том случае, если угол между его нормалью и вектором на наблюдателя лежит в пределах от 0 до 90 градусов (является острым). Это условие может быть сформулировано по другому — треугольник виден наблюдателю в случае, если скалярное произведение вектора нормали и вектора, направленного на наблюдателя, больше нуля. Если для определенности предположить, что вектор на наблюдателя имеет следующие координаты (0, 0, — 1), то условие видимости треугольника принимает очень простой вид: треугольник виден наблюдателю тогда и только тогда, когда Z-координата его вектора нормали меньше нуля.

Конец ознакомительного фрагмента.