Квантовая химия в примерах

Игорь А. Мерзляков

В первой книге серии «Путешествие в квантовую механику» были рассмотрены основные положения, связанные с общим аналитическим решением уравнения Шрёдингера. На данном этапе, не прибегая к помощи компьютера, мы научимся прогнозировать кристаллические структуры, молекулы, а также химические реакции.

2. Общие сведения из квантовой механики

Полную энергию E_p заряженной частицы, расположенной в трёхмерном пространстве декартовых координат, можно представить в виде тождества:

где x,y,z — координаты пробного отрицательного заряда (см. раздел 5 [1]), x∈ [0, R_x], y∈ [0, R_y], z∈ [0, R_z]; F (x,y,z) — произвольно заданная функция; U_p (x,y,z) — потенциальная энергия; R_x, R_y, R_z — коэффициенты, определяемые из граничных условий Дирихле; Θ — индекс, соответствующий той или иной оси координат x_Θ. Величины m_x/R_x, m_y/R_y, m_z/R_z должны зависеть от функции распределения внутренней энергии u в веществе (см. раздел 9 «Принцип суперпозиции. Квантовая запутанность. Квантовый компьютер» [1]). Если в квантовой системе будет находиться только одна частица, то коэффициент a примет значение a=ħ²/ (2M), здесь ħ — приведённая постоянная Планка; M — масса электрона; n_x, n_y, n_z — квантовые числа, с помощью которых возможно вычислить дискретные значения полной энергии.

Допустим, что нелинейное уравнение Шрёдингера задаётся в сферической системе координат (r,θ,φ). Отсюда следует, что полная нормированная энергия полученной в этом случае квантовой системы будет определяться по формуле:

Функцию распределения потенциальных ям, построенную в заданном координатном базисе (r,θ,φ), возможно свести к виду: A``=sin (πm<sub>r</sub>r/R<sub>r</sub>) sin (πm<sub>θ</sub>θ/R<sub>θ</sub>) sin (πm<sub>φ</sub>φ/R<sub>φ</sub>). В точках, где величина A`` окажется отрицательной A`` <0, вероятность обнаружения электронов будет выше, чем в точках, где A``> 0.

Атомы, существующие в пространстве потенциальных ям, могут иметь любую форму, но для простоты их изображения выберем модель куба. Представим прямо перед собой несколько потенциальных ям, в центре которых возможно зафиксировать отрицательно заряженные частицы, расположенные на внешней оболочке куба (атома). Исходя из выражений (2.1) и (2.2), можно вычислить полное количество исследуемых потенциальных ям.

Примечательно, что с изменением внутренней энергии u в веществе пространство синусоидальной функции П_Θ=1³sin (πm_Θx_Θ/R_Θ) начнёт трансформироваться.

Обозначим символом h номер заполняемого уровня. Величина 2h-1 будет соответствовать числу полупериодов синусоидальной функции, приходящихся на одну сторону куба.

Квантовым уровнем называется каждая новая оболочка атома, построенная как следующий слой, состоящий из потенциальных ям, вокруг куба предыдущего уровня, за исключением 1-го, толщиной в один полупериод синусоидальной функции.

Количество потенциальных ям, в которых могут существовать электроны, расположенные на оболочке куба, определяется из выражения D`.

Если h=1, то

В случае, когда h> 1 и h — чётная переменная, тогда:

Если h> 1 и h — нечётная, то:

Исходя из преобразований, разобранных выше, возможно сформулировать физический закон, позволяющий определить зависимости между величинами h, D` и теми коэффициентами, которые входят в состав электронной конфигурации рассматриваемого в каждом отдельном случае химического элемента. Заполним таблицу 2.1 полученными данными.

Таблица 2.1 Сводная таблица, подтверждающая применимость периодического закона Менделеева к исследуемой модели атома.

Основными характеристиками, с помощью которых можно восстановить периодическую систему Д. И. Менделеева, являются соотношения между столбцами 3, 4 и 5 таблицы 2.1. Задаваясь исходными данными {строка, столбец}, взятыми из таблицы 2.1, возможно получить следующие тождества:

Для чётных h> 3:

Для нечётных h> 4 и всех остальных h <4: