Логика. Краткий курс

Коллектив авторов (2016)

Настоящее издание представляет собой учебное пособие, подготовленное в соответствии с Государственным образовательным стандартом по дисциплине «Логика». Материал изложен кратко, но четко и доступно, что позволит в короткие сроки успешно подготовиться и сдать экзамен или зачет по данному предмету. Издание предназначено для студентов высших учебных заведений.

4. Классическая логика высказывании и предикатов

1

Под именем понимается выражение языка, обозначающее отдельный предмет, совокупность сходных предметов, свойства, отношения. Выражение языка становится именем, если оно выступает в роли подлежащего или именной части сказуемого в простом предложении: «S есть Р» (S — подлежащее, Р — сказуемое). Например, высказывание «роза — это цветок» своими составляющими имеет имена «роза» и «цветок».

2

Высказывание — грамматически правильное предложение, которое может быть истинным или ложным. В логике само понятие высказывания — ключевое, но не допускает универсального определения для разных ее разделов. Но любое высказывание описывает некоторую ситуацию и может быть истинным или ложным.

Высказывание истинно, если соответствует реальной ситуации, и ложно, если не соответствует ей. «Истина» и «ложь» представляют собой истинные значения высказывания.

3

Вспомогательные слова «и», «либо, либо», «если, то» называют логическими связками. Сложные высказывания можно строить с помощью логических связок. Так, из высказываний «светит солнце» и «идет дождь» можно образовать сложные высказывания типа «если светит солнце, то идет дождь», «светит солнце и идет дождь» и т. п.

4

Укажем самые важные способы построения сложных высказываний. Отрицанием называется такая логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается высказывание с противоположным логическим значением.

Обозначим высказывания буквами А, В, С,…, отрицание высказывания — символом ~. Тогда если высказывание А истинно, то его отрицание ~А ложно, и если А ложно, его отрицание ~А истинно. Например, отрицанием высказывания «три является четным числом» служит высказывание «три не является четным числом».

5

Сложное высказывание, полученное с помощью двух (или более) высказываний при помощи слова «и», называется конъюнкцией. Заменяя слово «и» на «или» в предыдущем определении, получаем дизъюнкцию высказываний.

Высказывания, получаемые описанными способами, представляют собой предмет изучения логики высказываний. Она предполагает, что любое высказывание имеет свое логическое значение, зависящее от значений простых высказываний, входящих в него, а также и от характера их связи.

При помощи таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких — ложно.

Важнейшим предметом изучения логики высказываний служат логические законы, высказывания, имеющие истинные значения независимо от логических значений его составляющих.

6

Логика высказываний — это теория логических связей высказываний, не зависящих от внутреннего строения простых высказываний; это совокупность формул или сложных высказываний, записанных на специальном языке, включающем множество переменных: А, В, С,…, А1, В1, С1…, представляющих высказывания; особые символы для логических связок, например &, ∧ — «и», ~ «неверно, что», «или», и скобки, играющие роль знаков препинания.

Логика высказываний не занимается анализом внутренней структуры простых высказываний, считая их неразложимыми.

7

Для определения структуры высказываний вводится список индивидных переменных: х, у, z…, х1, у1, z1…., представляющих разные объекты, и перечень предикатных переменных: Р, Q, R,…, Р1, Q1, R1,…, представляющих свойства и отношения объектов. Наряду с этими переменными могут рассматриваться индивидные константы, имена собственные.

Запись (x) Р(х) означает «любой х обладает свойством Р», (∃х) Р(х) — «существует х, обладающий свойством Р», (∃x) Q(x, у) — «существует х, который находится в отношении Q с у» и т. д.

8

Под предикатом понимается языковое выражение, обозначающее некоторое свойство или отношение. Предикат, указывающий на свойство предмета, например «быть круглым», называется одноместным. Двухместным, трехместным называется предикат, обозначающий отношение, в зависимости от числа его членов. Например, «кусает» — двухместный предикат, «находится посередине» — трехместный.

Предикатами называются функции, значениями которых служат высказывания. Данные функции превращаются в высказывания после подстановки имен вместо переменных.

Функцией одной переменной, например, становится выражение «…есть золотой» и т. д. В логике предикатов существуют логические операторы ∀ («для всех», «для любого», «для каждого») и ∃(«для некоторых», «существует»), называемые кванторами общности и существования соответственно.

9

Логика предикатов — раздел современной логики, в котором описываются выводы, учитывающие внутреннюю (субъектно-предикатную) структуру высказываний. Логика предикатов представляет собой расширение логики высказываний, поскольку все законы логики высказываний служат также законами логики предикатов, однако не наоборот.