Финансовая математика. Учебник по финансовому анализу малого бизнеса для кредитных специалистов

Олег Иванов

После изучения учебника Финансовая математика Вы будете— знать различия простых и сложных процентов— уметь самостоятельно строить графики погашения кредитов— знать основные формы погашения кредитов, их отличительные особенности— уметь рассчитывать аннуитетный взнос на калькуляторе— понимать правила начисления пени и проводить их самостоятельный расчет— знать порядок зачисления взносов при просрочкеУчебник содержит примеры и задачи, максимально приближенные к работе кредитного специалиста

1.4. Сложные проценты

Начисление сложного процента основано на том, что в определенный момент начисленные проценты прибавляются к сумме вклада, т.е. сумма на счету увеличивается, и в следующем периоде проценты начисляются уже на большую сумму (процент на процент).

Возьмем в качестве примера уже знакомого нам клиента, который выбирает себе самый доходный вклад. Как и в примере с простыми процентами в первый год, клиент вложил 100 рублей под 10% годовых. Вспоминая формулу расчета простых процентов, отразим в цифрах данную ситуацию:

100 х (1+10%) = 110

На второй год клиент решил вложить уже имеющиеся 110 рублей под те же 10% годовых. По известной уже формуле данная ситуация выглядела бы так:

110 х (1+10%)

Вместо 110 вставим наш предыдущий расчет, и у нас получится следующее:

100 х (1+10%) х (1+10%) = 121

На третий год произошла аналогичная ситуация, клиент вложил весь доход, полученный за предыдущие годы, т.е. 121 рубль под ту же ставку — 10%. В нашу формулу вместо числа 121 поставим расчет за второй год, т.е. 100 х (1+10%) х (1+10%). За третий год поставим также данные в скобках (1+10%) и у нас получается вот такая формула.

100 х (1+10%) х (1+10%) х (1+10%) = 133,1

Если мы будем считать вложения клиента за следующие годы, то ситуация у нас будет повторяться. По правилам математики упростим получившуюся формулу, и у нас получится:

Теперь заменим рубли на S₀, 10% на i и будем выражать проценты в долях. Годы заменим на n, и обозначим сумму вклада с процентами через определенное количество лет как S_n. Тогда получим:

Рассмотрим эффект, который получается от долгосрочных вложений при использовании простых и сложных процентов. Вспомним, каков был доход клиента за этот период:

Графически это будет выглядеть так:

Как видно из рисунка, при краткосрочных вложениях начисление по простым процентам, то есть без реинвестирования накопленных средств, предпочтительнее, чем по сложным процентам. При сроке в один год разница отсутствует. Но при долгосрочных инвестициях сумма, рассчитанная по сложным процентам, значительно выше, чем по простым. Поэтому, если хотите ускорить рост вашего капитала, всегда помните о сложном проценте и реинвестируйте полученную прибыль.

Эффект сложных процентов

Представьте, что у Вашего дальнего родственника во времена Бориса Годунова были накопления в размере 1 копейки, которые он дал в долг под скромные по тем временам 10% годовых и постоянно бы их реинвестировал. Как Вы думаете, сколько у Вас было бы сейчас денег?

А было бы их ровно 1 313 843 250 024 500 (Один квадриллион триста тринадцать триллионов восемьсот сорок три миллиарда двести пятьдесят миллионов двадцать четыре тысячи пятьсот) рублей!¹

Для того чтобы рассчитать предполагаемый доход, нужно было знать, что деньги Вашего родственника находились бы в обороте более 400 лет, т.е. необходимо было бы рассчитать продолжительность финансовой операции.

Примечания

1

«Сложные проценты — это самая могущественная сила во вселенной.» (А. Эйнштейн)