Как понять алгебру. Алгебраические уравнения с ответами и решениями

Джеймс Уэллс

Вы ищете простой способ объяснить алгебру вашему ребенку? Вам поможет книга «Как понять алгебру: алгебраические уравнения с ответами и решениями». Эта книга включает в себя:Эксперименты с числами как новый подход к пониманию логики алгебры.90 уравнений с ответами и решениями.Автор учебника программист и психофизиолог с многолетним стажем преподавателя.Эта книга не только помогает понять алгебру, но и укрепляет уверенность учеников в себе и повышает их самооценку.

КАК РЕШАТЬ УРАВНЕНИЯ

Математика — восхитительная сфера деятельности. Имея только ручку и лист бумаги, можно придумывать все, что угодно. Можно бродить по бумаге с цифрами и символами, заботясь только об одном: равенство должно быть равенством, не более того. Представим, что вы первый великий математик. Люди знакомы только с арифметикой: как складывать, вычитать, умножать и делить. В школе изучают скучные вещи типа таких выражений:

2 +3 = 5 или 7 — 4 = 3

Вы первый, кто подозревает, что есть способ выразить общую идею уравнений, написанных выше.

Сначала вы пишете: a + b = c или c — a = b. Вы можете открыть общие правила, которые могут помочь людям решить любое уравнение. Чтобы проверить открытие, вы должны провести эксперименты с числами.

Напишем простое уравнение: 4 +8 = 12

Прибавим любое число к левой части уравнения.

4 +8 +3 = 12

Что мы получили?

15 = 12

Это неправильно! Как исправить уравнение? Попробуйте добавить к правой части уравнения такое же число, которое вы добавили к левой части уравнения.

4 +8 +3 = 12 +3. Что у вас получилось? 15 = 15

Вы открыли первое правило уравнений. Это правило гласит: «Если вы прибавите одно и то же число к левой и правой части уравнения, это уравнение все равно будет верным». Чтобы выразить это правило в общем виде, вы можете написать:

Если a + b = c, то a + b + n = C + n, где a, b, c, n равны любым числам.

Вы гений? Конечно! Давайте попробуем еще один эксперимент.

Что произойдет, если вычесть любое число из левой части уравнения?

5+2=7

5+2 — 5=7

Что мы получили? 2 = 7

Это неверно, но вы уже знаете, как исправить уравнение. Вы должны вычесть одно и то же число из левой и правой частей уравнения.

5 +2 — 5 = 7 — 5. Тогда 2 = 2.

Можете себя поздравить! Вы открыли второе правило уравнений. Это правило гласит: «Если вы вычтете одинаковые числа из левой и правой частей уравнения, это уравнение все равно будет верным».

Или вы можете написать:

если a + b = c, то a + b — n = c — n, где a, b, c, n равны любым числам.

Какие еще виды экспериментов вы можете провести? Вы можете умножить одну часть уравнения на некоторое число. Напишем уравнение:

5 — 1 = 4

Что будет, если левую часть уравнения умножить на 7?

(5 — 1) 7 = 4, тогда 28 = 4

Это неверно. Попробуйте умножить обе части уравнения на 7.

(5 — 1) 7= 4 х 7. Тогда 28 = 28

Вы открыли еще одно правило для уравнений. Третье правило гласит:

«Если вы умножите левую и правую часть уравнения на одно и то же число, это уравнение все равно будет верным».

Если a — b = c, то (a — b) n = (c) n

Еще один эксперимент. Что произойдет, если разделить половину уравнения на любое число?

4 +6 = 10

(4 +6) /2 = 10, тогда 5 = 10.

Вы можете спросить себя: «Сколько раз я буду совершать одну и ту же ошибку?»

Но у вас есть знания, чтобы решить эту проблему.

Вы должны разделить обе части уравнения на одно и то же число.

(4 +6) / 2 = 10/ 2, тогда 5 = 5

Вы открыли четвертое правило уравнений. Это правило гласит:

«Если вы разделите левую и правую часть уравнения на одно и то же число, уравнение все равно будет верным».

Итак, вы можете написать:

Если a + b = c, то (a + b) /n = c/n

Где a, b, c — любые числа, но n не равно 0, потому что нельзя делить числа на 0.

Люди спросят вас: «Какую пользу вы можете извлечь из этих правил?»

Ваш ответ будет таким: «Вы можете использовать эти правила для решения любого уравнения».

Напишем уравнение, в котором одно число неизвестно.

Х — 3 = 11

Как мы можем решить это уравнение? Попробуйте применить первое правило:

Если вы прибавите одно и то же число к левой и правой части уравнения, это уравнение будет верным. Для нашего уравнения удобно добавить 3 к обеим частям уравнения.

Х — 3 +3 = 11 +3

Поскольку — 3 +3 = 0

Тогда Х = 11 +3

Итак, Х=14

Давайте попробуем решить уравнение, где все числа представлены буквами.

Х — b = с

Примените первое правило, чтобы решить это уравнение

Х — b + b = с + b

Так как — b + b = 0, то

Х = с + b.

Чтобы решить уравнение X + b = c, мы можем применить второе правило.

Если X + b = c, то

Х + b — b = с — b тогда

Х = с — b.

Следующий пример: Х +7 = 15

Вычтите 7 из обеих частей уравнения:

Х +7 — 7 = 15 — 7 и Х = 8

Не читайте дальше, пока не выполните упражнения из практики 1.

Практика 1. Решение уравнений

Решите для Х:

1. X — 5 = 0

2. X +11 = 3

3. X — ab = 4

4. X — Y = Z

5. X — 2a = c

6. X +3ab = bc

7. X + k = 1 + k

8. X — ab = a — ab

9. X + c = c — b

10. X — 2a = a — ab

11. X + cb = 3cb — c

12. X — 5 + a = 2a — 5

13. X +3 — k = 6 — 3k

14. X — 1 — ab = ab — 1

15. X — a — b = a — b

16. X +2a — 3c = 3a — 2c

Вы можете найти ответы в приложении 1. Если ваш ответ неверен, попробуйте решить еще раз.

Если вы не можете найти правильный ответ, прочитайте решение в приложении 2.

Давайте решим уравнение

4Х — 5 = 15

Вы можете применить первое правило.

4Х — 5 +5 = 15 +5, тогда 4Х = 20.

Как найти Х? Вы можете применить четвертое правило.

Если вы разделите обе части уравнения на одинаковые числа, это уравнение все равно будет верным.

4Х/4=20/4, тогда Х=5.

Чтобы решить уравнение

аX — b = с

Примените первое правило.

аХ — b + b = с + b,

тогда

аX = с + b

Теперь применим четвертое правило.

Если aX = c + b, то aX/a = (c + b) /a

тогда X = (c + b) /a

Не читайте дальше, пока не выполните упражнения из практики 2.

Практика 2. Решение уравнений

Решите для Х:

1. 2X — 3 = 5

2. 3X — 5 = 4

3. 5X +6 = 36

4. 8X — 5 = 43

5. 7X — 2 = 19

6. 4X +8 = 20

7. 6X — a = 2a

8. 2X + b = 13b

9. 7X +3a = a + b

10. 4X — 2a = 4 +2a

11. 4X — 3a = a

12. 3X — 2b = 6 — 14b

13. 6X — 2a = 24b — 20a

14. aX — 3a = ab — 2a

15. 2aX + ab = 2a — ab

16. 3aX — c = 3ac — 7c

Ответы в приложении 1.

Решения в приложении 2.

Если у вас есть такое уравнение:

Х/а — 5 = 6

Тогда примените первое правило:

Х/а — 5 +5 = 6 +5

Х/а = 6 +5

Х/а = 11

Затем примените третье правило.

Х/а * а = 11 * а

Х = 11а

Давайте решим уравнение:

2X — 4b = 2bc

Примените первое правило:

2Х — 4b +4b = 2bc +4b,

тогда 2X = 2bc +4b

Разделите обе части уравнения на 2:

2Х/ 2 = (2bc +4b) / 2

Вы должны знать, как делить двучлен на одночлен.

Если вы забыли, вы можете найти правило самостоятельно.

Вы можете попробовать написать

(2bc+4b) /2 = 2bc/2 +4b/2

Давайте проверим. Предположим, что c = 2 и b = 3.

Чтобы разделить двучлен на 2, попробуйте разделить каждый одночлен на 2

2*3*2/2 +4*3/2 = 12

А теперь попробуйте сначала решить двучлен, а потом разделить на 2.

(2*3*2 +4*3) /2, тогда 24/2 = 12

Мы получили тот же ответ. Это означает, что

(а + b) /2 = а/2 + b/2.

Мы открыли правило: чтобы разделить двучлен на число, разделите каждый одночлен внутри двучлена на это число. Вернитесь к своему уравнению.

2Х = 2bс +4b. Тогда:

2Х/2=2bс/2+4b/2

Тогда: X = bc +2b

Вы можете вынести за скобки b и получить X = b (c +2)

Всякий раз, когда вы не знаете правило, вы можете поставить любые цифры вместо букв и проверить равенство. Откройте для себя правила самостоятельно.

Решим более сложное уравнение:

5X — 5 = 50X

Используйте 2-е правило, вычтите 5X с обеих сторон:

5X — 5 — 5X = 50X — 5X

— 5 = 45X

or 45X = — 5

Поделите обе части уравнения на 45.

45X/45 = — 5/45

X = — 1/9

Следующие уравнение:

Для этого умножьте — Х на (а + в) и поделите его на (а + в). Мы можем это сделать, потому что

(а + в) / (а + в) = 1

Тогда мы получим:

Или:

Умножаем — Х на а + b скобках и получаем:

Умножьте обе части уравнения на (a + b)

Тогда b — bX = c (a + b)

Примените 2-е правило, вычтите b из обеих частей уравнения:

b — bX — b =c (a + b) — b

Тогда — bX =c (a + b) — b Разделим обе части на b:

Чтобы сделать это алгебраическое выражение более красивым, умножьте числитель и знаменатель на (-1).

Вы можете сделать это, потому что (-1) / (-1) = 1. Если вы умножите любое число на 1, число не изменится.

Тогда

Следующее уравнение:

— 2Х = а — b

Вам не удобно иметь минус перед 2Х.

Вы можете преобразовать уравнение в более удобный вид.

Умножаем обе части уравнения на — 1

(-2X) (-1) = (a — b) (-1), тогда вы получите

2Х = — а + b или 2Х = b — а

Делим обе части уравнения на 2.

Есть и другой способ решить это уравнение:

— 2Х = а — b

Разделим обе части уравнения на — 2

Чтобы ваш результат был более красивым, вы можете умножить числитель и знаменатель на — 1

Следующее уравнение:

3а — 6Х = 6Х — 9а

Вы можете видеть, что в левой части уравнения у вас есть — 6X

А с правой стороны у вас +6X. Вам удобнее иметь + перед X. Поэтому вы оставляете +6X в правой части и избавляетесь от — 6X в левой части уравнения.

Прибавьте 6X к обеим частям уравнения:

3а — 6Х +6Х = 6Х — 9а +6Х, тогда получим 3а = 12Х — 9а

Прибавьте 9a к обеим частям уравнения:

3a +9a = 12X — 9a +9a тогда 12a = 12X

X = a

Не читайте дальше, пока не выполните упражнения из практики 3.

Практика 3. Решение уравнений

Решите для Х:

1. 1 — X = 5 — a

2. 1 — 2X = X — 4

3. a — 3X = b — X

4. 2a — 4X = 2X — 4a

5. 4b — 2X = 2X — 4b

6. ab + aX = 2aX + ac

7. ab + aX = 2aX — ac

Продолжим и обсудим уравнение: aX — bX = a — b

Вынесите за скобки множитель X, который является общим множителем для бинома aX — bX,

тогда вы получите X (a — b) = a — b

Разделите каждую часть уравнения на a — b

X (a — b) / (a — b) = (a — b) / (a — b)

X = 1

Не читайте дальше, пока не выполните упражнения из практики 4.

Практика 4. Решение уравнений

Решите для Х:

1. bX — 2b = aX — 2a

2. b — 2bX = a — 2aX

3. aX — bX = 1

4. aX — bX — cX = 2a — 2b — 2c

5. 3abX — 5a = 3acX +13a

6. aX — bX = ac — bc

7. 9a — 4X = 5a — 2X

8. X — aX = 2 — 2a

9. aX — bX = b — a

Продолжим и решим уравнение: aX — bX = 2b — 2a

Вынесите за скобки X в левой части уравнения.

Х (а — b) = 2b — 2а

Вынесите за скобки 2 в правой части уравнения.

X (a — b) = 2 (b — a)

Разделите обе части на (a — b).

Умножаем числитель на — 1

Или вы можете упростить это алгебраическое выражение, вынеся за скобки (-1) в знаменателе

Практика 5. Решение уравнений

Решите для Х:

1. 5aX — 5bX = 10b — 10a

2. aX — bX — cX = c + b — a

3. 2X — 3aX = 6a — 4

4. 3aX — 9bX = 27b — 9a

5. 4bX — cX = 8c — 32b

6. abX — acX = ac — ab

7. X/2 — aX = 1 — 2a

8. aX/5 +2a = 5a — 4aX

Вы можете найти ответы в приложении 1 и решения в приложении 2.