Путешествие в квантовую механику

Игорь А. Мерзляков

Квантовая физика не может не притягивать своей загадочностью. Предлагаем Вам окунуться в этот удивительный предмет науки. В настоящем исследовании, опираясь на общее аналитическое решение уравнения Шрёдингера, нам предстоит изучить целый ряд явлений и процессов, происходящих на уровне мельчайших взаимодействий. Обобщив положения о волновой функции, мы заглянем за ширму эксперимента с двумя щелями, проанализируем мир атомов и молекул, а также рассмотрим другие вопросы. Пора отправляться в путь!

2. О фундаментальных законах физики

В этой главе будут рассмотрены 2 концепции, с помощью которых можно сформулировать тот или иной физический закон, предназначенный для описания объективной реальности. Первая доктрина направлена на исследование дифференциальных соотношений, позволяющих по меньшей мере обобщить природные явления и процессы, а вторая связана с определением корреляций в заранее известном наборе функций. Последние могут быть получены опытным путём, либо найдены в результате экстраполяции значений, относящихся непосредственно к решению того или иного дифференциального уравнения. Справедливость численных методов, которые опираются на анализ экспериментальных данных, изначально просто нельзя не поставить под сомнение. Впрочем, применяя эмпирический подход на практике, в подавляющем большинстве случаев возможно будет обосновать теоретически как минимум не самую малую часть от всех наблюдаемых в линейных или хотя бы в линеаризованных физических системах фундаментальных взаимодействий.

Начнём этот раздел с вывода уравнения Шрёдингера. Методика, ориентированная на поиск зависимостей между величинами, присутствующими в указанном уравнении, базируется на математической интуиции. Примечательно, что настоящее допущение не является ошибочным.

2.1 Вывод уравнения Шрёдингера

В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, согласно которой корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер. Исходя из предположения де Бройля, важно констатировать, что каждая материальная частица обладает волновыми свойствами, причём соотношения, связывающие волновые и корпускулярные характеристики частицы, остаются такими же, как и в случае электромагнитного излучения веществом. Действительно, полную энергию E_p` и импульс P`` фермиона (или бозона) возможно выразить через круговую частоту ν, длину волны λ и постоянную Планка h, тогда:

где k’=2π/λ; ħ=h/ (2π) — приведённая постоянная Планка.

Итак, сформулируем закон сохранения энергии для волны де Бройля. Величина E_p` представляет собой сумму кинетической E_k и потенциальной U_p (x,y,z) энергии, следовательно:

Вместе с тем

здесь M — масса элементарной частицы; T``` — период волны Де Бройля.

Длину волны Де Бройля λ удобно выразить через скорость υ (υ=const), тогда:

Вывод уравнения Шрёдингера по идее надо производить в трёхмерном пространстве C³, но для упрощения расчётов будем использовать одномерную систему координат. Переходя от действительных чисел к комплексным λ-> — 2πiλ и ν-> — ν/ (2πi) (знаки перед аргументами — 2πiλ и — ν/ (2πi) выбраны отрицательными именно потому, что в противном случае соотношение (h/ (2πλ)) ²/2M-U_p (x) — i (hν/ (2π)) ≠C_ncos (ω`t) +isin (ω`t)) просто-напросто потеряет смысл, когда ω`> 0, ν> =0, λ> =0, t> =0, U_p (x) =const и C_n≠0), перепишем составленный для волны Де Бройля закон сохранения энергии в следующем виде:

Кроме того

где t — время, а x — координата.

Ссылаясь на математические преобразования, разобранные выше, найдём тождество:

.В итоге нам потребуется внести новую величину под знаки производных, которую в подавляющем большинстве случаев обозначают как ψ или как ψ_p, тогда:

Выражение (2*) называется уравнением Шрёдингера. Опираясь на полученную формулу, возможно вычислить оператор импульса P``, следовательно:

2.2 Эмпирический метод

Обычно с изучением школьной программы как-то не принято ставить под сомнение справедливость основных положений, позволяющих осуществить вывод фундаментальных законов физики. Для того чтобы выполнить дальнейшие математические расчёты, нужно в первую очередь определить понятие «зависимости» физических величин, выраженных через изменение прочих несвязанных друг с другом соотношений. Отталкиваясь от постулата о наличии корреляций между аргументом F и неравномерно распределёнными вдоль соответствующих осей x₁, x₂, x₃,…, x_{N``-1</sub> или x<sub>N``} функциями f₁ (x₁), f₂ (x₂), f₃ (x₃),…, f_{N``-1</sub> (x<sub>N``-1}), либо f_{N``</sub> (x<sub>N``}), заданные параметры f₁ (x₁), f₂ (x₂), f₃ (x₃),…, f_{N``-1</sub> (x<sub>N``-1}), а также f_{N``</sub> (x<sub>N``}) надлежит перемножать между собой только в том случае, когда последние окажутся независимыми. Иначе говоря, приращение переменной f_j (x_j) по факту будет происходить без взаимного влияния её значений на другие выражения f_o (x_o) (o≠j). Запишем тождество (2.1) для нахождения произведения П_j=1^{N`</sup>`f_j (x_j) ^γj. Коэффициенты γ₁, γ₂, γ₃,…, γ_j,…, γ_{N``</sub> будут численно равны константам (+1 или — 1), представляющим из себя степени функций f<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>) <sup>γ1</sup>, f<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>) <sup>γ2</sup>, f<sub>3</sub> (x<sub>3</sub>) <sup>γ3</sup>,…, f<sub>j</sub> (x<sub>j</sub>) <sup>γj</sup>,…, f<sub>N``} (x<sub>N``</sub>) <sup>γN``}, тогда:

здесь N`` — количество независимых параметров f<sub>1</sub> (x<sub>1</sub>), f<sub>2</sub> (x<sub>2</sub>), f<sub>3</sub> (x<sub>3</sub>),…, f<sub>N``-1</sub> (x_{N``-1</sub>) и f<sub>N``} (x_N``).

Наглядным примером применения эмпирического подхода на практике является закон Кулона, полученный для силы электростатического взаимодействия F_e. Таким образом, следующие выражения (f₁ (x₁), f₂ и f₃ (x₃)) могут быть сгруппированы друг с другом как независимые соотношения:

f₁ (x₁) — произведение зарядов q₁q₂;

f₂ — поправочная постоянная K;

f₃ (x₃) — квадрат расстояния r₁-r₂ ² между любыми 2-мя частицами, f₃ (x₃) = r₁-r₂ ²;

где r_к — построенный из начала координат (0,0,0) в точку с зарядом q_к радиус-вектор.

Хорошо известно, что сила Кулона F_e прямо пропорциональна множителям f₁ (x₁) и f₂ (γ₁=γ₂=1), но обратно пропорциональна переменной f₃ (x₃) (γ₃=-1). Итак, прибегая к анализу экспериментальных данных, запишем закон Кулона, сформулированный для 2-х одноимённых зарядов q₁ и q₂, следовательно:

Если величины g_j (x_j) и g_j` (x_j) окажутся взаимно зависимыми, то справедливым будет тождество:

Функции f_j (x_j), g_j (x_j) и g_j` (x_j) могут носить более сложный математический характер, нежели степенные выражения f₁ (x₁) ^γ1, f₂ (x₂) ^γ2, f₃ (x₃) ^γ3,…, f_j (x_j) ^γj,…, f_{N``</sub> (x<sub>N``}) ^γN``. Порой с помощью эмпирического метода нельзя описать тот или иной закон природы, тогда для реализации намеченных целей соискатели обычно составляют дифференциальные уравнения. Разрешить последние иногда бывает затруднительно по причине невысокой производительности современных компьютеров. В подобных случаях используют суперкомпьютеры. В дальнейшем мы сконцентрируемся на решении дифференциальных уравнений с частными производными.