Путешествие в квантовую механику

Игорь А. Мерзляков

Квантовая физика не может не притягивать своей загадочностью. Предлагаем Вам окунуться в этот удивительный предмет науки. В настоящем исследовании, опираясь на общее аналитическое решение уравнения Шрёдингера, нам предстоит изучить целый ряд явлений и процессов, происходящих на уровне мельчайших взаимодействий. Обобщив положения о волновой функции, мы заглянем за ширму эксперимента с двумя щелями, проанализируем мир атомов и молекул, а также рассмотрим другие вопросы. Пора отправляться в путь!

4. Об аналитическом решении уравнения Шрёдингера в С³

В этой главе будет проанализирован новый подход к решению дифференциальных уравнений, который предложил автор данной книги. В качестве примера мы разрешим уравнение Шрёдингера, полученное для 1-й частицы, находящейся в декартовой системе координат. Исследуемое дифференциальное уравнение возможно представить в виде тождества:

где a=ħ²/ (2M).

Символом Δ обозначают сумму операторов ∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²+…, знак ∂_t эквивалентен частной производной ∂/∂t. Уравнение Шрёдингера, полученное для одномерного случая, можно преобразовать к виду:

4.1 Пример решения уравнения Шрёдингера

Осуществляя поиск аналитического решения уравнения Шрёдингера, необходимо разложить в ряд Фурье следующие выражения: ψ_p, F (x) и U_p (x) F (x), тогда:

где R_x — координата граничного условия Дирихле; F (x) — произвольно заданная дифференцируемая функция, F (x) ∈C.

Домножим левую и правую части тождества (4) на величину F (x), следовательно:

Заменим неизвестные переменные в формуле (4`) на соотношения A`, B`, C`, тогда:

В состав выражения (4*) входит общий множитель e^2iπmxx/Rxe^2iπnxx/Rx. Необходимо сократить последний, оставив в результате только коэффициенты тригонометрического ряда. Выполним следующие преобразования:

Разделим переменные относительно ψ_p (t, n_x, m_x), тогда:

Исходя из тождества ограниченности вероятности ∫_-∞^∞ψ_pψ_p*dx=1, возможно определить коэффициент C_p. В рассматриваемом примере существует зависимость величины C_p от времени t. Потребуем, чтобы множитель C_p оставался постоянным в том случае, когда E_p∈R. Область определения волновой функции будет лежать в пределах отрезка [0,R_x]. Вместе с тем для коэффициента R_x возможно задать любое значение R_x> 0∈R, тогда:

Исходя из стационарного одномерного уравнения Шрёдингера, можно определить полную энергию электрона E_p, находящегося в состоянии p, следовательно:

Для трёхмерного базиса величина E_p составит:

В общем случае переменная E_p окажется неопределённой, поскольку в выражении, полученном для полной энергии E_p, будут присутствовать произвольные функции: F (x) — для одномерной или F (x,y,z) — для трёхмерной системы координат.

Таким образом, опираясь на предложенную в данном параграфе методику, можно констатировать, что величина E_p, выраженная в общем виде, будет зависеть от случайных процессов, происходящих в квантовой системе. В стационарных условиях левая и правая части тождества (4!!) примут фиксированные во времени значения.

4.2 Кот Шрёдингера. Коллапс волновой функции

Если функции ψ₁ и ψ₂ являются волновыми, то их линейная суперпозиция ψ₃ = c₁ψ₁ + c₂ψ₂ описывает некоторое состояние квантовой системы. В том случае, когда измерение определённой физической величины f в состоянии ψ₁ приводит к результату f₁, а в состоянии ψ₂ — к результату f₂, тогда измерение состояния ψ₃ приведёт к результатам f₁ или f₂ с вероятностями c₁ ² и c₂ ² соответственно.

Поскольку стационарное уравнение Шрёдингера является линейным, то произвольно заданная комбинация его решений может быть представлена в виде суммы волновых функций.

Концепция мысленного эксперимента, связанного с котом Шрёдингера, заключается в следующей идее. В ящик помещаются банка с ядом, молоточный механизм с детектором и изначально живой кот. В случае распада ядра срабатывает детектор, который приводит в движение молоточный механизм, разбивающий сосуд с ядом, вследствие чего кот умирает. Согласно квантовой механике, если над ядром не производится наблюдение, то его состояние описывается суперпозицией двух состояний: распавшегося и нераспавшегося. Следовательно, кот, сидящий в ящике, и жив, и мёртв одновременно. Если же ящик открыть, то экспериментатор может увидеть только какое-нибудь одно конкретное состояние: «ядро распалось, кот мёртв» или «ядро не распалось, кот жив».

В квантовой механике коллапс волновой функции происходит в том случае, когда волновая функция (первоначально в суперпозиции нескольких собственных состояний) сводится к одному собственному состоянию вследствие взаимодействия квантовой системы с внешним миром. Это взаимодействие в дальнейшем будем называть «наблюдением» или «измерением». Под нормированной суперпозицией понимается сумма нормированных волновых функций. Последние являются взаимно зависимыми. Примечательно, что объединенная волновая функция продолжает подчиняться уравнению Шрёдингера.

В 1927 году Вернер Гейзенберг использовал идею коллапса волновой функции для объяснения квантового измерения искомой нормированной вероятности. Однако ниже будет показано, что коллапс — это фундаментальное физическое явление, которое возможно обосновать, опираясь на решение уравнения Шрёдингера.

Вычисления можно производить в трёхмерной системе декартовых координат. Тем не менее для упрощения расчётов выберем одно измерение. Пусть F (x) =d (x) +ib (x), тогда:

Квадрат модуля коэффициента C_p ² будет определять начальную вероятность каждого отдельного состояния p нормированной суперпозиции.

Постоянный член aiπ²n_x²/R_x², который входит в состав выражения E_p, можно опустить, поскольку выше было положено условие зависимости полной энергии от произвольно заданной функции F (x).

Для того чтобы осуществить дальнейшие математические преобразования, необходимо выделить вещественную часть из выражения E_p. Пусть E*_p=Re (-iE_p), следовательно:

Суперпозицию квантовых состояний возможно выразить в виде суммы волновых функций при условии, что величина n_x примет постоянное значение, тогда:

где S` — полное количество возможных состояний системы.

Нормированную волновую функцию можно представить в виде соотношения:

здесь S`` — число нормированных состояний.

Если потребовать тождество E_p*=0, то для любых p∈N справедливым окажется выражение:

Таким образом, сумма нормированных вероятностей будет иметь постоянное значение независимо от условий проведения эксперимента.

В точке, где появится заряженная частица, потенциальную энергию можно считать бесконечно большой. За пределами данной области значения функции U_p (x) окажутся малыми по отношению к той или иной сингулярности.

Допустим, что в точке с координатой f в окрестностях ε располагается пик потенциальной энергии. Вне области f±ε потенциальная энергия U_p (x) будет пропорциональна функции 1/ x-f . Если величина ε окажется бесконечно малой ε→0, то в этом случае выражение U_p (f) примет постоянное значение. Потребуем, чтобы в точках пространства, расположенных вне окрестности f±ε, выполнялось тождество G=E_p* для любых x≠f.

Итак, преобразуем соотношение (4.1) к следующему виду:

Полная нормированная энергия будет равна бесконечности E_p*=±∞ только в том случае, когда в точке наблюдения f локализуется заряженная частица при условии, что функция F (f) sin (πm_x

Конец ознакомительного фрагмента.