Теория пределов и нейросети. Практикум

Николай Петрович Морозов (2024)

Решению практических задач и выполнению практических заданий по нахождению пределов функций традиционными методами и с помощью нейросетей и посвящена данная книга.

Глава 2

Выполнение заданий из главы 1.

1) f(n) = (1 — 2n)/(3n — 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: — 2/3.

2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n — 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.

3) f(x) = 2x/(x^2 — 4) — 1/(x — 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.

Посмотрим, как с ними справится нейросеть GPTutor

1)f(n) = (1 — 2n)/(3n — 2) при n стремящейся к бесконечности.

GPTutor

Функция ( f(n) = \frac{1 — 2n}{3n — 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать с помощью предела:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{1 — 2n}{3n — 2} ]

Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, можно использовать правило Лопиталя (если оно применимо), либо анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.

Давайте разберемся:

Числитель функции ( 1 — 2n ) при больших значениях ( n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, так как коэффициент при ( n ) больше знаменателя ( 3n — 2 ), который будет расти до положительного бесконечно малого, что говорит о

Автор

А где решение?

GPTutor

Извините за недоразумение! Давайте найдем предел функции ( f(n) = \frac{1 — 2n}{3n — 2} ) при ( n \to \infty ).

Как я упоминал ранее, числитель ( 1 — 2n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, а знаменатель ( 3n — 2 ) будет расти до положительного бесконечно большого при увеличении ( n ).

Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на ( n ):

[ f(n) = \frac{1 — 2n}{3n — 2} = \frac{\frac{1}{n} — 2}{3 — \frac{2}{n}} ]

Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\frac{1}{n} — 2}{3 — \frac{2}{n}} ]

Здесь можно заметить, что ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ) при ( n \to \infty ).

Тогда предел выражения равен:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{0 — 2}{3 — 0} = \frac{-2}{3} = — \frac{2}{3} ]

Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен ( — \frac{2}{3} ).

Ответ: — 2/3.

Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, скажите!

2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n — 2) при n стремящейся к бесконечности.

GPTutor

Функция ( f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n — 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать аналогично предыдущему случаю:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2 + 1}{3n — 2} ]

Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, снова можно воспользоваться правилом Лопиталя или анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.

Разделим числитель и знаменатель на ( n ):

[ f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n — 2} = \frac{n^2/n + 1/n}{3 — 2/n} = \frac{n + \frac{1}{n}}{3 — \frac{2}{n}} ]

Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n + \frac{1}{n}}{3 — \frac{2}{n}} ]

При ( n \to \infty ), ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ). Тогда предел выражения равен:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{\infty + 0}{3 — 0} = \infty ]

Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен бесконечности.

Если возникнут ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, обращайтесь!

3) f(x) = 2x/(x^2 — 4) — 1/(x — 2) при x стремящейся к 2.

GPTutor

Функция ( f(x) = \frac{2x}{x^2 — 4} — \frac{1}{x — 2} ) при ( x ) стремящемся к 2 можно проанализировать на предмет её поведения в окрестности точки ( x = 2 ).

Сначала проверим знаменатель дроби ( \frac{1}{x — 2} ). При ( x \to 2 ), знаменатель стремится к 0, что может привести к бесконечности, если числитель не стремится к 0.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

[ f(x) = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} — \frac{1}{x-2} ]

Теперь рассмотрим предел при ( x \to 2 ):

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \left( \frac{2x}{(x-2)(x+2)} — \frac{1}{x-2} \right) ]

Здесь числитель и знаменатель первого слагаемого оба стремятся к 0 при ( x \to 2 ), что создаёт неопределённость типа ( \frac{0}{0} ). Используем правило Лопиталя:

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \frac{\frac{d}{dx}[2x]}{\frac{d}{dx}[(x-2)(x+2)]} — \lim_{{x \to 2}} \frac{\frac{d}{dx}[1]}{\frac{d}{dx}[(x-2)]} ]

Вычислим производные:

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \frac{2}{2x} — \lim_{{x \to 2}} \frac{-1}{(x-2)^2} ]

Подставляем ( x = 2 ):

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \frac{2}{4} — \frac{-1}{0^2} ]

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \frac{1}{2} + \infty ]

Таким образом, предел функции ( f(x) ) при ( x \to 2 ) равен ( \infty ).

Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, дайте знать!