Теория пределов и нейросети. Практикум

Николай Петрович Морозов (2024)

Решению практических задач и выполнению практических заданий по нахождению пределов функций традиционными методами и с помощью нейросетей и посвящена данная книга.

Глава 3

11. Найти предел функции f(x) = (2x^3 + x^2 — 5)/( x^3 + x — 1) при x стремящемся к бесконечности.

ChatGPT

Для нахождения предела функции при x стремящемся к бесконечности можно разделить каждое слагаемое на x^3 и применить правило Лопиталя для бесконечностей.

f(x) = (2x^3 + x^2 — 5)/( x^3 + x — 1) = (2 + 1/x — 5/x^3)/(1 + 1/x^2 — 1/x^3)

Теперь применяем правило Лопиталя:

lim (x->∞) (2 + 1/x — 5/x^3)/(1 + 1/x^2 — 1/x^3)

= lim (x->∞) (0 — 15/x^4)/(0 — 3/x^4)

= lim (x->∞) 5

Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен 5.

GPTutor

Чтобы найти предел (\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} — \frac{5}{x^3}}}{{1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3}}}), давайте разложим числитель и знаменатель в ряды Тейлора до необходимой степени, когда ( x \to \infty ).

Числитель:[ 2 + \frac{1}{x} — \frac{5}{x^3} ]

Разложим первые члены в ряд Тейлора:

[ 2 + \frac{1}{x} — \frac{5}{x^3} = 2 + \frac{1}{x} — 5 \cdot \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right) ]

Знаменатель:[ 1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3} ]

Разложим первые члены в ряд Тейлора:

[ 1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3} = 1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right) ]

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} — \frac{5}{x^3}}}{{1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3}}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} — 5 \cdot \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)}}{{1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)}} ]

Теперь выделим основные члены в числителе и знаменателе:

[ = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1}} = \lim_{{x \to \infty}} \left(2 + \frac{1}{x}\right) ]

Поскольку ( \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0 ), то предел равен:[ = 2 ]

Таким образом, (\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} — \frac{5}{x^3}}}{{1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3}}} = 2 ).

Выводы:

Работа над ошибками.

Маша

Применяем правило Лопиталя:lim (x->∞) (2 + 1/x — 5/x^3)/(1 + 1/x^2 — 1/x^3)

Чтобы найти предел[\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x} — \frac{5}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3}}]с помощью правила Лопиталя, проверим, что предел имеет форму (\frac{\infty}{\infty}):

Числитель: (2 + \frac{1}{x} — \frac{5}{x^3} \to 2)

Знаменатель: (1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3} \to 1)

В данном случае предел не имеет формы (\frac{\infty}{\infty}), поскольку при (x \to \infty) числитель стремится к 2, а знаменатель к 1. Таким образом, можно сразу подставить значение:

[\frac{2 + 0 — 0}{1 + 0 — 0} = \frac{2}{1} = 2]

Следовательно,

[\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x} — \frac{5}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3}} = 2]

Найти производную (1/x — 5/x^3 + 1/x^2 — 1/x^3)

Чтобы найти производную функции [f(x) = \frac{1}{x} — \frac{5}{x^3} + \frac{1}{x^2} — \frac{1}{x^3}]

, можно преобразовать ее в более удобный вид и применить правило производной:

[f(x) = x^{-1} — 5x^{-3} + x^{-2} — x^{-3}]

Теперь найдем производную каждого члена:

( \frac{d}{dx}(x^{-1}) = — x^{-2} )

( \frac{d}{dx}(-5x^{-3}) = 15x^{-4} )

( \frac{d}{dx}(x^{-2}) = — 2x^{-3} )

( \frac{d}{dx}(-x^{-3}) = 3x^{-4} )

GPTutor

Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{2x^3 + x^2 — 5}{x^3 + x — 1} ) при ( x \to \infty ), мы будем анализировать поведение выражений в числителе и знаменателе.

Конец ознакомительного фрагмента.