ПОПРОЩА́ТЬСЯ, -а́юсь, -а́ешься; сов. (несов. прощаться). То же, что проститься (в 1 знач.). (Малый академический словарь, МАС)
МАХНУ́ТЬ, -ну́, -нёшь; сов. 1. Однокр. к махать (в 1 знач.). (Малый академический словарь, МАС)
ПОПРОЩА́ТЬСЯ, -а́юсь, -а́ешься; сов. (несов. прощаться). То же, что проститься (в 1 знач.).
Все значения слова «попрощаться»МАХНУ́ТЬ, -ну́, -нёшь; сов. 1. Однокр. к махать (в 1 знач.).
Все значения слова «махнуть»Обе уходили так быстро, что едва успели вежливо попрощаться с директрисой.
Наконец адмирал закашлялся, закашлялся… потом махнул рукой и поплёлся на место.